波の干渉（面上の円形波）のアニメーション表示

面上の（2次元の）円形波が干渉する様子を再現する、VCSSL製の簡易シミュレーターです。

前回は単体の円形波のアニメーションを扱いましたが、今回はその続きです。 そもそも円形波とは？ という場合は、まずは前回の内容をご参照ください。 今回は前回の続きとして、円形波を2つ重ね合わせて、干渉する様子をアニメーション表示してみましょう。

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• 前回： 円形波のアニメーション表示
• 前々回： 波の干渉（線上の正弦波）のアニメーション表示

使用方法

ダウンロードと展開方法

まず、PC（スマホは未対応）で上の画面の「 ダウンロードして実行 」ボタンを押してください。 するとZIP形式で圧縮されたファイルがダウンロードされるので、そのZIPファイルを右クリックして「すべて展開」や「ここに展開」などで展開してください。 展開が成功すると、ZIPファイルと同じ名前のフォルダができ、その中にZIPファイルの中身が入っています。

» 展開がエラーで止まってしまう場合は…

なお、Linux® 等をご使用で、右クリックメニューから展開するとファイル名が文字化けしてしまう場合は、 コマンドライン端末でZIPファイルのある場所まで cd した上で「 unzip -O cp932 ZIPファイル名 」で展開してみてください。

起動方法

Microsoft® Windows® をご使用の場合

上記の通りにZIPファイルを展開したフォルダ内にある、 「 VCSSL.bat（種類はバッチファイル） 」をダブルクリック実行してください。 もしプログラムの内容を書き変えながら使いたい場合は、代わりに「 VCSSL_Editor.bat 」を実行してください。

実行すると、最初にメモリー使用量や、（必要な場合のみ）Java®実行環境を自動で入手するか※ 等を尋ねられるので、適時答えると、プログラムが起動します。2回目以降はすぐに起動します。

※ ここで入手したJava®実行環境は、ZIPファイルを展開した中の「 jre 」フォルダ内にダウンロードされ、このプログラムの実行のみに使用されます。PC全体に影響する形でインストールされる事はありません。

Linux® 等やその他のOSをご使用の場合

ZIPファイルを展開したフォルダ内へコマンドライン端末で cd して、以下の通り入力して実行してください：

» javaコマンドが使用できない等のエラーが表示される場合は…

起動後の画面

起動すると、まず波のパラメータを数値入力するか尋ねられます。 特に「ぴったりこの値の波長にしたい」などの必要が無ければ、「いいえ」でスキップして構いません。

その後、波が3Dアニメーションで表示される画面が立ち上がります。

画面上部にあるスライダーで、波の波長や振幅、周期などのパラメータを自由に調整できます。

ウィンドウを閉じると、プログラムの実行が終了します。

題材解説

複数の異なる波を重ね合わせると、元のどちらの波とも違った形（と動き）をする波ができます。これを干渉といいます。

前々回では、X軸上で2つの正弦波が干渉する様子を扱いましたが、確かに合成波は、元の正弦波のどちらとも異なる、独特のパターンの形や動きをしていましたね。

• 前々回： 波の干渉（線上の正弦波）のアニメーション表示

今回は、そこから次元が1つ増えて、面の上を伝わる円形波を2つ重ね合わせて、干渉させてみましょう。 これもまた、独特のパターンや動きが見られて面白いですよ！

まずは、重ね合わせる2つの円形波、波Aと波Bの形や動きをそれぞれ確認

さて、まずは重ね合わせる2つの円形波（波A、波Bと呼びます）を、それぞれ単体で見てみましょう。 画面の一番上にあるスライダーで、波Bの振幅をゼロ（左端）にもっていくと、以下のように波Bが消えて波Aだけが見られます：

このように、上下に揺れる赤色のボールを波源として、そこから波が同心円状に広がっていきます。 これが、今回重ね合わせる円形波の形です。 この円形波は、波源を含む断面が正弦波になっています。 詳細は前回の記事をご参照ください：

• 前回： 円形波のアニメーション表示

さて、今度は波Bの振幅をゼロでない値に戻して、逆に波Aの振幅をゼロにもっていきましょう。 そうすると、以下のように波Aが消えて波Bだけが見られます：

このように、今度は緑色のボールを波源として、そこから円形波が広がっていきます。

波長や周期は、スライダーを操作して変更しない限り、波Aと波Bで同じに設定してあります。 つまるところ、少し離れた赤色と緑色のボールを波源として、そこから全く同じ円形波が出て、広がっていっているわけですね。

波Aと波Bを、同程度の振幅で重ね合わせて干渉させると…

それでは、上で見た波Aと波Bを重ね合わせて、干渉させてみましょう。 波Aと波Bの振幅を同程度にそろえると、うまく独特のパターンを見られます。

…といっても、このプログラムを起動した時点で、ちょうどいいパターンが見られる状態になるようにしてあるので、 ある意味で出オチなのですが、以下のような結果が得られます：

なんともおかしなパターンですね。このパターンに注目するために、波長をもう少し短くして形を密にし、さらに真上から見下ろした様子を、アニメーションではなく静止画で見てみましょう：

このように上から見ると、波の凹凸が奇妙なまでに消えている、曲線状の領域が数本走っている事が見て取れます。 わかりやすいように、上から線を描いてみたのが下図です（線は手でラフに引いたので、理論的に完璧に正確な線ではありません）：

ここでアニメーションを見返すと、時間経過に伴って波が動いても、この線の上でだけ、常に凹凸が消えてしまう事が確認できます。 この線は一体何者なのでしょうか？

波Aと波Bが打ち消しあったり、強め合ったりする条件

実はこの線は、波Aと波Bが、常に互いにちょうど打ち消しあう、絶妙な条件を満たしている位置 に出現します。 具体的には、波源Aからの距離と、波源Bからの距離が、ちょうど波長の半分だけずれている位置に出現します。

それがどういう部分なのかを考えるために、もう一度、波Aだけの場合をふり返ってみましょう。 波源から少しずつ離れていくつもりで、波がどう変化していくのかを考えてみます。

いま扱っている円形波は、波源を含む断面が正弦波になるものでしたね。 正弦波は、山と谷が交互に来ます。 そして、正弦波のアニメーションの回で説明した通り、 1波長というのは、この山と谷を一個ずつ含む長さと一致するのでした。

という事は、波源からの距離が離れるのに伴って、ちょうど半波長（波長の半分）ごとに、山 → 谷 → 山 → 谷 … と交互に並んでいるはずです。 なお、波源の真上の位置が山なのか谷なのか、もしくは中途半端な状態なのかは、時間によって変化します。重要なのは、山と谷が半波長ごとに並ぶという事です。

上と全く同じ事が、波Bにも言えます。

さて、ここで再び、波Aと波Bの重ね合わせについて考えましょう。いまは、波源Aと波源Bは全く同じ振動をしています。 という事は、波源Aからの距離と、波源Bからの距離が、ちょうど同じ地点では、波Aで山がきている時に、波Bでも山がきます。 時間が少し経過して、同じ地点に今度は波Aで谷がきている時に、やはり波Bでも谷がきます。 他の中途半端な時間にも、結局は両者で全く同じように波が来るので、波Aと波Bを重ね合わせると、常に強め合います。

さらに、波源Aからの距離と、波源Bからの距離が、ちょうど波長の整数倍ずれている地点でも、同じように波Aと波Bは常に強め合います。 なぜなら、波源からの距離がちょうど1波長ずれると、そこからくる波がちょうど山と谷の一つぶんずれるので、山は山、谷は谷のままで、その地点の運動は変わらないからです。 なので、この地点では先に述べた、波源A・波源Bからの距離が等しい地点と全く同じ状況になり、波が強め合うのです。

そして本題です。波源Aからの距離と、波源Bからの距離が、ちょうど波長の整数倍 + 半波長（波長の半分）だけずれている地点では、波Aと波Bは打ち消しあいます。 なぜでしょうか？

先に述べた通り、2つの波源からの距離が波長の整数倍だけ違うの地点なら、波Aで山がきている時に、波Bでも山がきます。しかしそこから半波長だけずれると、状況はちょうど山1個分＝谷1個分ずれる事になります。 そうすると、その地点で波Aで山がきている時に、波Bでは谷がきます。逆に波Aで谷がきている時には波Bでは山がきます。 じゃあ、山でも谷でもない中途半端な時間には？ 実は、同じ正弦波を半波長の整数倍だけずらして合成すると、常に打ち消しあって波がゼロになります。 したがって結局、波源Aからの距離と、波源Bからの距離が、ちょうど半波長の整数倍だけずれている地点では、両者の波が時間によらず常に打ち消しあって、合成波の凹凸が消えてしまうのです。

波Aと波Bが打ち消しあう・強め合う線の形は？

先ほど見た、波の凹凸がほとんど消えている線は、「 波源Aからの距離と、波源Bからの距離がちょうど『波長の整数倍 + 半波長』だけ食い違っている 」という条件を満たす、都合のいい線になっています。 と言ってもそれほど特殊な線ではなく、中学校でも習う双曲線になっています。

実は双曲線は、「 ある二点からの距離の差が一定 」という面白い性質を持っています。 今回の場合は、「ある二点」が「波源Aと波源B」、「距離の差」というのが「波長の整数倍 + 半波長」になっていて、そういう双曲線上で、波Aと波Bが打ち消しあって凹凸が無くなっていたわけですね。

同様に、波源からの距離の差が、単純に波長の整数倍である領域も、双曲線を描きます。この条件を満たす地点では、先に述べた通り、波Aと波Bは常に強め合うのでしたね。 実はその線は、波が打ち消しあう双曲線の間に挟まれた領域を走っています。 改めてその領域を見ると、波の凹凸が消える事なく振動しています。 その、一番凹凸の激しい部分、つまり「こぶ」のピークが描く線が、波が強め合う条件を満たす双曲線となっています。

コード解説

このプログラムのコードはVCSSLで記述されています。 ここではそのコード内容について簡単に解説します。 VCSSLはC系の単純な文法の言語なので、C言語などに触れた事のある方なら簡単に読めると思います。

グラフの範囲などを変えたり、色々と改造したいといった場合などは、 プログラムのコード「 InterferingCircularWave.vcssl 」をテキストエディタで開いて改造してください。 スクリプト言語なので、コンパイラなどの別ソフトは不要で、コードを書き換えるだけでOKです。

前提となるコード

今回のコードは少し複雑なため、いきなり読むよりも、 より単純ないくつかのコードを踏まえた上での方が、読みやすくなると思います。

円形波をアニメーションさせる感覚や、パラメータ操作用にスライダーなどのGUI部品を組み立てる流れは、 前回のコードが参考になると思います：

• 前回「 円形波のアニメーション表示 」のコード

ただし前回は、円形波をアニメーション表示する部分については、Graph3Dライブラリを用いて3Dグラフソフトに担わせていました。 その方がコードが単純で済みましたし、円形波を1個アニメーションさせるだけなら、グラフとして描いても十分わかりやすかったからです。

一方で今回は、波源として球を置いて動かしたり、波の面の色を細かく調整したりと、少し凝りたかったので、グラフソフトは使わずに描画処理のコードを書き下しています。 その部分が前回のコードと比べて増えています。

ただ、描画周りをゼロから用意するのはさすがに無駄に複雑になりすぎるので、 ある程度は土台の処理を代行してくれる簡易フレームワークである Graphics3DFramework ライブラリを使用しています。 このフレームワークを用いて、画面に曲面をアニメーション表示させる単純なサンプルとして、以下のコードがあります：

• 頂点配列によるモデルの変形アニメーション

上のコードは60行程度の短いものですが、全体の構造や処理の流れが、ちょうど今回のプログラムのひな型とも言える形になっています。

今回のコードは、上の2つのプログラムのコードを合体させて、少し拡張したような具合になっています。 今回のコードを読む際に掴みどころが無いと感じた方は、事前に上記2つのコードを読んでみてください。

コード全体

それでは、今回のコードです。まずコードの全体を見てみましょう。

以上です。大体400行ちょっとの規模のコードですね。 各部で行っている処理はコード内のコメントの通りですが、 以下では先頭から順を追って、もう少し詳しく説明します。

ただ、全部を詳しく追っていると量的に少し大変なので、 前提として挙げた 「 円形波のアニメーション表示 」のコード や 「 頂点配列によるモデルの変形アニメーション 」のコード とかぶっている部分は軽めに流し、 本質的に重要な部分をピックアップして見ていきます。

変数の宣言部

先頭から続く変数の宣言部では、基本的には前回のコードと同じで、 そこから波のパラメータや操作用スライダーなどの変数が、 波Aと波Bの2通りぶん用意されるようになっただけです。

ただし、波のデータを格納する頂点座標値配列が、以下のようにな形になっている点は、前回と異なります：

前回は、X / Y / Z 座標についてそれぞれ別々に、waveX[N][N] / waveY[N][N] / waveZ[N][N] のような2次元配列を用意していましたね。 これは、そのほうが名前から X / Y / Z のどの座標なのかわかりやすかったのと、そのままグラフソフトに渡せる形で楽だったためです。

一方で今回は、グラフソフトではなくVCSSLの3DCG描画機能を用いて、波の形状のモデルを自分で作成して変形させます。 その際、モデルの頂点座標値を格納する配列は、上のコードのように、X / Y / Z 値も含めて1つにまとめ、[N][N][3] の形にしたほうが、 設定関数の引数で直接サポートされている下図の形に一致して、便利になります （ この形式について詳しくは 「 頂点配列によるモデルの変形アニメーション 」をご参照ください ）。

図の通り、この配列の一番右側の次元は、インデックス 0 でX値、インデックス 1 でY値、インデックス 2 でZ値を指します。 ただ、そのままだとコード内でわかりづらいため、 0 / 1 / 2 をそれぞれ int 型の定数 X / Y / Z で宣言しています。

これにより、たとえば上図のメッシュの縦に a、横に b 番目の点のX値を参照するのに、インデックスを [a][b][X] のように書けるようになります。

変数宣言部で前回から変化しているのは、こんなところです。本質的にはほとんど変わっていません。

プログラムの立ち上げ時の処理

続いて、プログラムを実行開始した後に実行される、初期化などの立ち上げ時の処理を見てみましょう。

少し前に述べた通り、このプログラムは3Dプログラム用の簡易フレームワーク Graphics3DFramework を使用しています。 ウィンドウやレンダラー（描画エンジン）の生成などの、大抵の3Dプログラムで共通になるような土台の処理は、起動後にまずフレームワークが自動にやってくれます。 それが済むと、フレームワークは onStart 関数が宣言されていれば呼び出してくれる仕組みになっています。

従って、onStart 関数を宣言して、そこにプログラム起動後に一度だけ行いたい処理を記述します。 今回は以下のように記述しています：

まずは、ユーザーが波のパラメータを数値入力したい場合のために、inputParameters 関数を呼び出して、必要に応じてパラメータ入力処理を行っています。 この関数は同じコード内に宣言されていますが、前回と基本的に同じで、波が2個に増えているだけなので、割愛しましょう。

続いて、setWindowSize 関数で画面サイズを、 setAmbientLightBrightness 関数で環境光の明るさを設定していますが、 これらはフレームワーク側で用意されている設定関数です。 また、その後でカメラ周りの設定を行っている setGraphics3DMagnification 関数や setGraphics3DDistance 関数は、3DCGの各種描画機能を提供する Graphics3D ライブラリの関数です。

このあたりでは、引数に数字をベタ書きしていてお行儀が悪いですが、単発のシミュレーションコードのためご容赦ください。

ここからはちょっと重要な部分です。まず initializeCoordinate 関数で座標系を生成して組み立て、initializeModel 関数でその上にモデルを生成して配置しています。 これらの関数はコード内で宣言されていて、その中身は：

のようになっています。

座標系は基本的に、モデルの配置位置や角度を調整したり、動かしたりするのに使用します（ VCSSL 3DCG開発ガイド「 座標系の考え方と生成・配置 」参照）。

今回の初期設定だと、波モデルは普通に3D空間に（ワールド座標系上に）直接配置しても別に問題ないのですが、 そのままだと、波の中で画面に表示する範囲を決める X_MAX や Y_MIN などの設定値次第では、画面のすごい端のほう（または遥か彼方）に波が表示されてしまいます。 なので、常に波の表示部分（波モデル）の中心が3D空間の中心（ワールド座標系の原点）に一致するように適時オフセットして配置したいので、 土台となる座標系（以下、波座標系）を一つ配置して、その上に波モデルを配置するようにしています。

波モデルを生成している newModel 関数の引数に QUADRANGLE_GRID を指定していますが、 これは先に述べた格子状の形式の頂点座標値配列から、曲面形状のモデルを生成するためのオプションです （ 詳しくは 「 頂点配列によるモデルの変形アニメーション 」をご参照ください ）。

波源A,Bについては、時間と共に常に動くため、やはりそれぞれに土台となる座標系(以下、波源座標系)を生成して波座標系上に配置し、その上に波源のモデルを配置しています。 波源を動かす際は、この波源座標系の原点位置を動かします。そうすると、その上に配置されている波源のモデルも一緒に動きます。

立ち上げ時の処理で残っているのは、GUI部品の配置などの画面構築処理を行う initializeGUI 関数（同じコード内で宣言）ですが、 これは前回とほぼ同じで、スライダーの個数が増えているくらいなので、割愛して先に進みます。

アニメーション処理

続いて、波をアニメーションさせる処理です。

前回のコードでは、main 関数内にアニメーションループを設けて、パラパラ漫画の要領で小刻みに時間を進めながら、 少しずつ違う波のデータをグラフソフトに渡して描画させていました。それを高速にくりかえす事で、アニメーションで動くように見えたわけですね。

その基本的な考え方自体は、今回も同じです。ただ今回は、アニメーションループはフレームワーク側が回してくれています。 そして、アニメーションループを一周するごとに、onUpdate 関数を呼び出してくれます。

つまり、コード内で onUpdate 関数を宣言さえしておけば、あとはそれが自動で毎秒数十回ほど呼び出されるので、 その中で波の形（や色）を毎回少しずつ変化させるようにすれば、アニメーションして見えます。楽ですね。

実際の onUpdate 関数の記述内容は以下の通りです：

まずは updateModelVertex 関数を呼び出し、頂点座標値配列を更新してモデルの形を変化させています。 この関数は同じコード内で以下のように宣言されていています：

ここでは、メッシュ内の格子点を走査しながら、各地点の波源Aと波源Bからの距離を、それぞれ rA と rB に求めています。 ここで波源の位置 \( ( x_A, y_A ) \) から注目点 \( ( x, y ) \) までの間の距離 \( r_A \) は、

\[ r_A = \sqrt{ (x-x_A)^2 + (y-y_A)^2 } 　　　 (1) \]

で表されるので、それをそのままプログラムの形にしています（ルートは sqrt 関数になります）。 そしてその値に基づき、前回扱った円形波の式：

\[ z = A \sin 2 \pi \bigg( \frac{t}{T} - \frac{r}{\lambda} \bigg) 　　　 (2) \]

から、波Aと波Bの値をそれぞれ zA と zB に求めています。そして、それらを重ね合わせて（単純に和をとって）、頂点座標値配列の z 値として格納しています。 あとは、頂点座標値配列を Graphics3D ライブラリの setModelVertex 関数に渡して、波モデルの形状を更新しています。 これでこの updateModelVertex 関数の処理は終わりです。

さて、その後は、波モデルの色を更新する updateModelColor 関数を実行しています。 これもコード内で宣言している関数で、以下のような内容になっています：

何をやっているかというと、 波を真上から見た際に振動の激しい所とそうでない所を見分けやすいように、 波モデルをZ値に基づくグラデーションで彩色しています。 各行の処理はコメントの通りです。波のカラーリングを変えたい場合は、このあたりを改造してください。 ただ、派手な色にすると、動きとあいまって非常に気持ち悪い雰囲気になるので、ご注意ください（昔、赤→緑→青へのグラデーションにした事があるのですが、絶不評でした）。

これで波モデルのアニメーション処理は終わりですが、忘れてはいけないのが、波源のアニメーションです。 上の関数の後に updateSourceLocations 関数が呼ばれ、そこで波源の位置が更新されます。これもコード内で宣言されていて、内容は以下の通りです：

波源Aと波源Bについては、当然ながら波源からの距離 \( r \) はゼロなので、円形波の (2) 式で \( -r/\lambda \) の部分は消えます。 その式でそのまま波源のZ座標を求めて、波源座標系の原点位置をその位置になるよう更新しています。 波源モデルである赤色と緑色のボールは、波源座標系の上に配置されているので、波源座標系の原点位置を動かせば、一緒に動きます。

その他の部分

主要な部分については、これで全部です。その他の部分は、大体 前回のコード や 前々回のコード と同様で、それも細かい枝葉の処理やイベントハンドラなどです。

コード内容は以上です。

ライセンス

このVCSSLコード（ 拡張子が「.vcssl」のファイル ）は実質的な著作権フリー（パブリックドメイン) である CC0 の状態で公開しています。 そのままでのご利用はもちろん、言語の種類を問わず、改造や流用などもご自由に行ってください。

※ ただし、このVCSSLコードの配布フォルダ内には、ダウンロード後すぐに実行できるように、 VCSSLの実行環境も同梱されており、そのライセンス文書は「 License 」フォルダ内に同梱されています （要約すると、商用・非商用問わず自由に使用できますが、使用の結果に対して開発元は一切の責任を負いません、といった具合の内容です）。 配布フォルダ内の各構成物の一覧やライセンスについては「 ReadMe_使用方法_必ずお読みください.txt 」をご参照ください。

この記事中の商標などについて

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