ローレンツアトラクタ（ファイル出力版）

このプログラムは、ローレンツ方程式を4次ルンゲ=クッタ（RK4）法で数値的に解き、 その解曲線を描くVCSSLプログラムです。 描かれる解曲線は、「 ローレンツアトラクタ 」として非常に有名です。

なお、このプログラムには、以下のGUI版も存在します。ローレンツアトラクタについて詳しい内容については、 GUI版のほうをご参照下さい。

• ローレンツアトラクタ（GUI版）

上のGUI版では、ユーザーの操作に従って、座標値をリアルタイムで計算しながら描画させていました。 一般にローレンツアトラクタを描いて楽しむ分には、そのほうが便利です。 それに対して今回のプログラムでは、座標値を一度ファイルに書き出してから、 グラフソフトでそのファイルをプロットさせるという、数値計算において一般的な、シンプルなものとなっています。

計算結果をファイルに書き出す事で、VCSSL付属のグラフ機能だけではなく、 一般のグラフソフトで解析する事もできますし、出力結果をスクリプトなどで加工する事も容易になり、 より汎用的になります。 反面、手軽にパラメータを変えて楽しむような場合にはやや面倒になります。 そういった場合はやはりリアルタイムで計算と可視化を行う GUI版 のほうが便利です。

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使用方法

ダウンロードと展開（解凍）

まず、PC（スマホは未対応）で上の画面の「 ダウンロード 」ボタンを押してください。 するとZIP形式で圧縮されたファイルがダウンロードされるので、そのZIPファイルを右クリックして「すべて展開」や「ここに展開」などで展開（解凍）してください。 展開が成功すると、ZIPファイルと同じ名前のフォルダができ、その中にZIPファイルの中身が入っています。

» 展開がエラーで止まってしまう場合は…

なお、Linux® 等をご使用で、右クリックメニューから展開するとファイル名が文字化けしてしまう場合は、 コマンドライン端末でZIPファイルのある場所まで cd した上で「 unzip -O cp932 ZIPファイル名 」で展開してみてください。

プログラムの起動

Microsoft® Windows® をご使用の場合

上記の通りにZIPファイルを展開したフォルダ内にある、 「 VCSSL.bat（種類はバッチファイル） 」をダブルクリック実行してください。 もしプログラムの内容を書き変えながら使いたい場合は、代わりに「 VCSSL_Editor.bat 」を実行してください。

実行すると、最初にメモリー使用量や、（必要な場合のみ）Java®実行環境を自動で入手するか※ 等を尋ねられるので、適時答えると、プログラムが起動します。2回目以降はすぐに起動します。

※ ここで入手したJava®実行環境は、ZIPファイルを展開した中の「 jre 」フォルダ内にダウンロードされ、このプログラムの実行のみに使用されます。PC全体に影響する形でインストールされる事はありません。

Linux® 等やその他のOSをご使用の場合

ZIPファイルを展開したフォルダ内へコマンドライン端末で cd して、以下の通り入力して実行してください：

» javaコマンドが使用できない等のエラーが表示される場合は…

操作方法

3Dグラフの画面上で、下記のマウス操作を行えます。

• 左ドラッグ … 視点の回転
• 右ドラッグ … 視点の平行移動
• ホイールスクロール … 拡大/縮小

パラメータの変更

波に関する各種パラメータは、プログラムの先頭領域にまとめて記載されています。 それらの値を書き換えると、色々と条件を変えてシミュレーションを楽しめます。

題材解説

ローレンツアトラクタについての詳しい解説は、下記のGUI版をご参照下さい。

• ローレンツアトラクタ（GUI版）

コード解説

コード全体

このプログラムのコード全体は、以下の通りです。

このプログラムのコードは上記の通り、典型的な数値計算プログラムの内容となっています。

以下では、このコードの各部を順を追って解説します。

ヘッダ部 - ライブラリのインポートなど

まずコード先頭のヘッダ部では、文字コードの明示（任意）と、必要なライブラリのインポートなどを行っています。

「 Math 」は各種数学関数を提供する標準ライブラリで、 「 tool.Graph3D 」は3次元グラフ描画機能を提供するライブラリです。

グローバル領域 - 計算のパラメータなど

続いてグローバル領域ですが、ここではローレンツ方程式を数値的に解く際のパラメータなどを定数で定義しています。

実はこれらは全てmain関数のローカルスコープ内に入れてしまっても動くので、 ある意味で無駄にグローバル領域を使っています。

しかし GUI版 や、 モジュール外から初期値を操作して何度も再計算させるような場合では、 パラメータはグローバル領域に置いておく必要があります。 今回は短い単純な計算コードで、あまり色々気をつけて考えても大した利点は無いので、 ここではグローバルに置きっぱなしにしています。

S, B, R がローレンツ方程式のパラメータです。なお、ローレンツ方程式は以下のような形をした1階の常微分方程式です。

\[ \frac{dx}{dt} = -sx + sy \] \[ \frac{dy}{dt} = -xz + rz - y \] \[ \frac{dy}{dt} = xy - bz \]

今回のプログラムでは、この微分方程式の解曲線を RK4（ 4次ルンゲ=クッタ法 ） で求めています。RK4は科学技術計算で実際に日常的に使われている高精度な手法で、 よく知られている オイラー法 などの強力版に相当するものです。

RK4は離散化幅 DT （ DTやdtと書くのは時間微分の方程式の場合で、一般の場合には h や Δ と書かれる事も多い ） に対して4次の精度を誇るアルゴリズムで、つまりは DT を1桁細かくすると、結果の精度は 1万倍向上します。 従って、絶対的な精度が要求される場合に威力を発揮しますが、 それでありながら1ループの計算コストもそこそこに納まるため、便利で扱いやすいアルゴリズムです。

パラメータ定数の TIME_MAX は終了時刻、DT は計算の際における時間の離散化幅です。 GRAPH_POINTS は3Dグラフに何点プロットする点数で、つまりは座標値ファイルに書き出す点数です。 あまり細かすぎても重い上に潰れて意味が無いため、ある程度省いて書き出すようにしています。

計算部

それでは中心である計算部を見ていきましょう。今回は単純なので、main関数の中にそのまま書いています。

前半部では、まず座標変数(x,y,z)とRK4に必要な変数を用意し、open 関数でファイルを開いています。 その後は、forループの中でRK4のアルゴリズムを回して、一歩ずつ端から解曲線の座標を求め、 writeln 関数でファイルに書き出しています。

forループ内の処理は典型的なRK4のコードで、何も特殊な事は行っていません。 fX, fY, fZはそれぞれ \(dx/dt\), \(dy/dt\), \(dz/dt\) の値、つまりはローレンツ方程式の右辺を返す関数で、 その実装は以下の通りです：

この変化率関数を用いて、現在の座標から次の時刻（DT後）の座標を求め、 それがforループの1サイクルになっています。次々とDTずつ次の時刻の座標が求まり、 最終的に解曲線が求まるわけです。 この流れは基本的にオイラー法などと変わりません。 異なるのは、1ループの中で少しずつ半端な場所を取りながら何度も導関数 fX, fY, fZ を“見て”いるのと、最終的にそれらに重みをつけて平均している点です。

グラフプロット部

最後に、書き出したファイルをグラフにプロットする部分です。

newGraph3D 関数は、3Dグラフソフトを起動し、 そのID（識別番号）を整数で返します。setGraph3DFile 関数は、 そうして起動したグラフソフトに、座標値ファイルを開いてプロットさせる関数です。

GUI版 では、setGraph3DData 関数を使って、 ファイルでは無く、全座標値を格納する float 配列をグラフにプロットさせていました。 速度的にはそちらのほうが遥かに速いのですが、今回のようにファイルを経由する事で、 他のグラフソフトや解析ツールを併用する事などができるようになります。 また、今回は一瞬で計算が終わりますが、長い時間がかかるような場合にも、 毎回計算していては大変なので、座標値をファイルに書き出して使う事になります。 そういった場合は、今回のように一旦ファイルに書き出して、setGraph3DFile 関数でプロットさせるのが便利です。

ライセンス

このVCSSL/Vnanoコード（ 拡張子が「.vcssl」や「.vnano」のファイル ）は実質的な著作権フリー（パブリックドメイン) である CC0 の状態で公開しています。 そのままでのご利用はもちろん、言語の種類を問わず、改造や流用などもご自由に行ってください。

※ ただし、このコードの配布フォルダ内には、ダウンロード後すぐに実行できるように、 VCSSLの実行環境も同梱されており、そのライセンス文書は「 License 」フォルダ内に同梱されています （要約すると、商用・非商用問わず自由に使用できますが、使用の結果に対して開発元は一切の責任を負いません、といった具合の内容です）。 配布フォルダ内の各構成物の一覧やライセンスについては「 ReadMe_使用方法_必ずお読みください.txt 」をご参照ください。

この記事中の商標などについて

• OracleとJavaは、Oracle Corporation 及びその子会社、関連会社の米国及びその他の国における登録商標です。文中の社名、商品名等は各社の商標または登録商標である場合があります。
• Windows は、米国 Microsoft Corporation の米国およびその他の国における登録商標です。この記事は独立著作物であり、Microsoft Corporation と関連のある、もしくはスポンサーを受けるものではありません。
• Linux は、Linus Torvalds 氏の米国およびその他の国における商標または登録商標です。
• その他、文中に使用されている商標は、その商標を保持する各社の各国における商標または登録商標です。